Die Tits-Alternative für eine relevante Klasse endlich präsentierter Gruppen unter besonderer Berücksichtigung computeralgebraischer Aspekte

The Tits alternative for a relevant class of finitely presented groups in special consideration of symbolic computational aspects

  • Eine Gruppe erfüllt die Tits-Alternative, wenn sie entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe vom Rang 2 enthält oder virtuell auflösbar ist, d. h. eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Diese Eigenschaft geht auf J. Tits zurück, der sie für endlich erzeugte lineare Gruppen nachwies. Es wird eine relevante Klasse endlich präsentierter Gruppen in Bezug auf die Tits-Alternative untersucht. Die betrachteten Gruppen stellen eine Verallgemeinerung von Pride-Gruppen und der von Vinberg betrachteten Gruppen erzeugt von periodisch gepaarten Relationen für drei Erzeugende dar. Zusätzlich treten diese Gruppen als Fundamentalgruppen hyperbolischer Orbifaltigkeiten auf. Es wird der Nachweis der Tits-Alternative unter bestimmten Voraussetzungen an die Präsentierungen der betrachteten Gruppen erbracht. Für diesen Nachweis werden verschiedene Methoden angewandt: Es werden zum einen homomorphe Bilder der Gruppen betrachtet. Zum anderen wird die Existenz wesentlicher Darstellungen in eine lineare Gruppe nachgewiesen. BasierendEine Gruppe erfüllt die Tits-Alternative, wenn sie entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe vom Rang 2 enthält oder virtuell auflösbar ist, d. h. eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index enthält. Diese Eigenschaft geht auf J. Tits zurück, der sie für endlich erzeugte lineare Gruppen nachwies. Es wird eine relevante Klasse endlich präsentierter Gruppen in Bezug auf die Tits-Alternative untersucht. Die betrachteten Gruppen stellen eine Verallgemeinerung von Pride-Gruppen und der von Vinberg betrachteten Gruppen erzeugt von periodisch gepaarten Relationen für drei Erzeugende dar. Zusätzlich treten diese Gruppen als Fundamentalgruppen hyperbolischer Orbifaltigkeiten auf. Es wird der Nachweis der Tits-Alternative unter bestimmten Voraussetzungen an die Präsentierungen der betrachteten Gruppen erbracht. Für diesen Nachweis werden verschiedene Methoden angewandt: Es werden zum einen homomorphe Bilder der Gruppen betrachtet. Zum anderen wird die Existenz wesentlicher Darstellungen in eine lineare Gruppe nachgewiesen. Basierend auf diesen Darstellungen kann in vielen Fällen der Nachweis der Existenz nicht-abelscher freier Untergruppen erbracht werden. Zusätzlich wird für den Nachweis der Endlichkeit und damit der Tits-Alternative einiger Gruppen eine Methode angewandt, die auf Berechnungen von Gröbner-Basen in nicht-kommutativen Polynomringen basiert. Es wird dabei die Dimension der Gruppenringe betrachtet als Vektorräume berechnet. Für die betrachtete Klasse von Gruppen wird für Relationen der Blocklänge 1 die Tits-Alternative vollständig nachgewiesen. Als Folgerung ergibt sich eine Klassifikation der endlichen unter diesen Gruppen.show moreshow less
  • A group is said to satisfy the Tits alternative if it contains a non-abelian free subgroup of rank 2 or is virtually solvable, i. e. it contains a solvable subgroup of finite index. This property was established by J. Tits, who proved that it is satisfied by finitely generated linear groups. A relevant class of finitely presented groups is investigated concerning the Tits alternative. These groups are generalizations for the three generator case of the so called Pride groups and the groups defined by periodic paired relations as considered by Vinberg. Furthermore, these groups appear as fundamental groups of hyperbolic orbifolds. The Tits alternative is proved for the considered groups under certain conditions concerning their presentations. Several methods to prove the Tits alternative are used: On the one hand, homomorphic images of the groups are considered. On the other hand, the existence of essential representations in a linear group is proved. Based on these representations, the existence of non-abelian free subgroups is provedA group is said to satisfy the Tits alternative if it contains a non-abelian free subgroup of rank 2 or is virtually solvable, i. e. it contains a solvable subgroup of finite index. This property was established by J. Tits, who proved that it is satisfied by finitely generated linear groups. A relevant class of finitely presented groups is investigated concerning the Tits alternative. These groups are generalizations for the three generator case of the so called Pride groups and the groups defined by periodic paired relations as considered by Vinberg. Furthermore, these groups appear as fundamental groups of hyperbolic orbifolds. The Tits alternative is proved for the considered groups under certain conditions concerning their presentations. Several methods to prove the Tits alternative are used: On the one hand, homomorphic images of the groups are considered. On the other hand, the existence of essential representations in a linear group is proved. Based on these representations, the existence of non-abelian free subgroups is proved in many cases. In addition, a method using Gröbner bases computations in non-commutative polynomial rings is used to prove a group is finite and thus satisfies the Tits alternative. For this purpose, the dimension of the group ring considered as a vector space is investigated. The considered groups with block length 1 are proved to satisfy the Tits alternative. As a conclusion, a classification of the finite considered groups with block length 1 is obtained.show moreshow less

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Metadaten
Author:Kristina Rosenthal
URN:urn:nbn:de:bvb:739-opus4-2865
Advisor:Martin Kreuzer
Document Type:Doctoral Thesis
Language:German
Year of Completion:2014
Date of Publication (online):2015/03/31
Publishing Institution:Universität Passau
Granting Institution:Universität Passau, Fakultät für Informatik und Mathematik
Date of final exam:2015/03/17
Release Date:2015/04/01
Tag:Tits-Alternative; nicht-kommutative Gröbner-Basis; non-commutative Gröbner basis
Tits alternative
GND Keyword:Kombinatorische Gruppentheorie; Gröbner-Basis
Institutes:Fakultät für Informatik und Mathematik
Dewey Decimal Classification:0 Informatik, Informationswissenschaft, allgemeine Werke / 00 Informatik, Wissen, Systeme / 004 Datenverarbeitung; Informatik
open_access (DINI-Set):open_access
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